Заберут ли в армию

Если у вас есть основания отсрочки, то не заберут. Ну или постарайтесь попасть в военкомат после окончания призыва :)

Однако не забывайте, что срок обращения за заменой паспорта ограничен и составляет 30 дней (далее - штраф, который можно оспаривать, конечно, но это муторно).

Главная проблема здесь даже не армии, а в том, что вам могут не выдать приписное без паспорта.

Если прям настойчиво требуют предоставить приписное, а его не выдают, то сошлитесь на Приказ МВД от 13.11.2017 №851. Особенно обратите внимание на перечень оснований для отказа в приеме документов, необходимых для предоставления государственной услуги и перечень документов, необходимых в соответствии с нормативными правовыми актами для предоставления государственной услуги и услуг, которые являются необходимыми и обязательными для предоставления государственной услуги, подлежащих представлению заявителем, способы их получения заявителем, в том числе в электронной форме, порядок их представления. Пусть пишут письменный отказ. И уже на этом этапе они либо махнут рукой, либо все-таки его напишут.

В военкомате тоже требуйте письменный отказ (если он будет). Со всем этим можно отправиться в суд, ответчиком указать отделение МВД, которое занимается выдачей вам паспорта. В итоге противоречие разрешат.